初中二次函数知识点归纳

初中二次函数的知识点包括二次函数的顶点坐标公式、二次函数的对称轴公式、二次函数的图形和性质、二次函数的表达式等等。

二次函数的顶点坐标公式及推导过程

二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)

推导过程：

y=ax^2+bx+c

y=a(x^2+bx/a+c/a)

y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

对称轴x=-b/2a

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

二次函数的三种表达式

二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。

二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k 顶点坐标为(h,k)

二次函数的交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)

二次函数的性质

(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)。

二次函数与图像的关系

(一)a与图像的关系

1.开口方向

当a>0时，开口向上。

当a<0时，开口向下，

2.开口大小

|a|越大，图像开口越小。

|a|越小，图像开口越大。

(二)b与图像的关系

当b=0时，对称轴为y轴。

当ab>0时，对称轴在y轴左侧。

当ab<0时，对称轴在y轴右侧。

(三)c与图像的关系

当c=0时，图像过原点。

当c>0时，图像与y轴正半轴相交。

当c<0时，图像与y轴负半轴相交。

二次函数的对称轴公式

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

a,b同号，对称轴在y轴左侧;

a,b异号，对称轴在y轴右侧。

二次函数的平移规律口诀

加左减右，加上减下。

y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。

(1)b>0时，图像向左平移b个单位(加左)。

(2)b<0时，图像向右平移b个单位(减右)。

(3)c>0时，图像向上平移c个单位(加上)。

(4)c<0时，图像向下平移c个单位(减下)。